1. Сначала определим, какое максимальное количество дедушек может быть у всех учеников вместе взятых, при условии соблюдения требований задачи.
   1. Так как учеников 20, у каждого по 2 дедушки, то понятно, что внуков у дедушек 40.
   2. Наша задача сводится к тому, чтобы распределить этих 40 внуков по n-ому количеству дедушек так, чтобы каждый ученик сочетался со всеми 19-ю остальными детьми.
   3. Допустим, дедушек 40, тогда мы получим 40 множеств, состоящих из 1 элемента: Д1={у1}, Д2={у2}и т.д, понятно, что это не решение задачи.
   4. Если дедушек 20, то получим 20 множеств по 2 человека, т.е Д1={у1, у2}, Д2={у1,у3}и т.д Т.е. каждый ученик сочетается с двумя другими.
   5. Пусть дедушек 4, тогда получаем 4 множества по 10 человек, каждый ученик сочетается с 18-ю учениками (можно, конечно, выделить множества разного размера, но тогда, увеличивая количество сочетаний одного ученика, мы еще больше уменьшим количество сочетаний другого)
   6. Таким образом, мы пришли к тому, что максимально возможное количество дедушек – 3
2. Разделить 40 внуков поровну между 3-мя дедушками не получится, получаются два множества по 13 и одно по 14 элементов, т.е условие задачи выполняется с избытком: часть детей связана с 24-я, а часть с 25-ю школьниками. Уменьшая количество детей в множестве из 14 элементов, мы будем увеличивать их в двух остальных. Таким образом, при любом варианте распределения внуков в рамках условия задачи, всегда найдется дедушка, у которого не менее 14-ти внуков. Что и требовалось доказать.

Задача 3.
У короля 19 баронов-вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассального баронства 1, 5 или 9 соседних баронств?
Решение:У каждого вассального баронства может быть 1, 5 или 9 соседних баронств, если можно построить граф с 19-ю вершинами, имеющими одинаковую степень (1,5 или 9). Существование такого графа противоречит Закономерности №3 (Число нечетных вершин любого графа четно), следовательно, его невозможно построить.
Ответ: у каждого вассального баронства не может оказаться 1,5 или 9 соседних баронств.

Задача 4.
На карте обозначено 4 деревни: A, B, C и D, соединённые тропинками. В справочнике написано, что на маршрутах B–C–D и A–D–C по 12 колдобин, на маршруте A–C–B – 25 колдобин, а на маршруте B–A–C – 52 колдобины. Туристы хотят добраться из A в B так, чтобы на их пути было как можно меньше колдобин. По какому маршруту им надо идти?
Решение:

1. Выявим возможные пути перемещения из А в В: А-B,А-С-B (количество колдобин по условию задачи- 25),A-D-C-B
2. Так как количество колдобин на пути А-С-B известно, требуется определить сколько их на двух оставшихся маршрутах и сравнить между собой.
3. Из условия: на B-C-D и A- D-C по 12 колдобин следует, что количество колдобин на отрезках пути B-C, C-D, A- D <= 12.
4. Из условия: на А-С-B 25 колдобин следует, что на А-С количество колдобин <= 25, но >= 13 (т.к. на B-C<= 12)
5. Из условия: на маршруте B-А-C 52 колдобины и п.4 следует, что на отрезке В-А колдобин >= 27, но <= 39. Следовательно, маршрут А-B не может рассматриваться как оптимальный по сравнению с А-С-B.
6. Маршрут A-D-C-B можно представить как совокупность B-C-D (12 колдобин по условию) и A-D (из п.3 колдобин <= 12). Таким образом, количество колдобин на маршруте A-D-C-B<= 24, это меньше чем 25 и любое число из промежутка [27;39]

Задача 5.
Можно ли фигуры на рисунке начертить одним росчерком пера?
Как мы нарисовали первую фигуру, смотри здесь.
Как мы нарисовали вторую фигуру, смотри здесь.

Задача 6.
Добавьте два моста так, чтобы получившуюся схему можно было обойти (см. рис.), побывав на каждом мосту ровно один раз и вернувшись в исходную точку.
Решение:

Задача 7.
В составе экспедиции должно быть 6 специалистов: биолог, врач, синоптик, гидролог, механик и радист. Имеется 8 кандидатов, из которых и нужно выбрать участников экспедиции; условные имена претендентов: A, B, C, D, E, F, G и H. Обязанности биолога могут исполнять E и G, врача A и D, синоптика F и G, гидролога B и F, радиста С и D, механика C и H. Предусмотрено, что в экспедиции каждый из них будет выполнять только одну обязанность. Кого и в какой должности следует включить в состав экспедицию, если F не может ехать без B, D без H и C, C не может ехать вместе с G, A вместе с B?
Решение:

Ответ: Е – биолог; D-врач; F- синоптик; В - гидролог; С-радист; Н- механик (EDFBCH).

Задача 8.
Используя представление данных в виде дерева, решите логическую задачу.
Ответ:
в самолете летело: 16 москвичей и 26 ростовчан, это были 27 мужчин и 16 женщин, 15 артистов и 27 не артистов.

Задача 9.
Пятачок решил навестить своих друзей – Винни-Пуха ,Кролика и Иа-Иа. Ему надо побывать у каждого из своих друзей и вернуться домой. Помогите Пятачку выбрать кратчайший путь.
Ответ:
кратчайший путь, по которому Пятачок может навестить всех своих друзей это - ПКИВП=50+45+30+40=165

Задача 10.
Известно, что при составлении троек нападения в команде учитывается сыгранность и психологическая совместимость игроков. В команде по хоккею в основном три тройки нападения. Надо составить тройки нападения из кандидатов, состоящие из центрального нападающего, левого и правого крайнего. На место центрального нападающего имеются кандидаты: Ц1, Ц2, ЦЗ, на место левого крайнего кандидаты: Л1, Л2, ЛЗ, правого крайнего — П1, П2, ПЗ. Проверка показала, что Ц1 хорошо совместим с Л1, Л2, П2; Ц2 — с Л1, П1, ПЗ; ЦЗ — с ЛЗ, П2, ПЗ.
Решение:
Ответ: рекомендуемые тройки игроков: П1Ц2Л1, П2Ц1Л2, П3Ц3Л3

Задача 11.
В обеденный перерыв члены строительной бригады разговорились о том, кто сколько газет читает. Выяснилось, что каждый выписывает и читает две и только две газеты, каждую газету читает пять человек, и любая комбинация газет читается одним человеком. Сколько различных газет выписывают члены бригады? Сколько человек в бригаде?
Ответ: В бригаде 15 человек, они выписывают 6 различных газет.

Задача 12.
Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон- Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

Ответ: нет, с Земли до Марса добраться нельзя.

Задача 13.
В квартирах № 1, № 2, № 3 живут три котенка – белый, черный, рыжий. В квартирах № 1 и № 2 живут не черные котята. Белый котенок живет не в квартире № 1. В какой квартире какой котенок живет?
Решение:
Ответ:в первой живет рыжий, во второй белый, в третьей – черный.

Задача 14.
В норке живет семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре из них отправляются на склад за сыром. Может ли так получиться, что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе с каждой ровно по одному разу?
Решение:Если каждая мышка побывала на складе с каждой, значит граф, отображающий наличие совместных походов на склад, будет содержать 24 вершины со степенями 23. Так как походы совершаются четверками, то мышки, с которыми рассматриваемая ходила за сыром, должны делиться на 3 (четвертая – рассматриваемая мышка), но 23 на 3 не делится, 7 четверок образуется, а 2 мышки смогут образовать с нашей только тройку, требуется добавить мышку из уже ходивших.